对称性常识备忘

2017-12-11#笔记

对称性工具
- Lie群和Lie代数
- 表示论

一些最基本的对称和基于此的粒子模型内容，基本基于参与翻译的Physics in symmetry一书。全程物理式数学，无证明。

对称性工具

Lie群和Lie代数

1.二维旋转

一般有两种表示

$SO(2)$ 群：典型表示2x2实矩阵， $O\to \hat{O}^ T \hat{O}=1,~S\to \det(O)=1$

$U(1)$ 群：1x1复矩阵（数）， $U\to U^\dagger U=1$

2.三维旋转

$SO(3)$ 群：经典表示3x3实矩阵，具体例如

R_x=\begin{pmatrix}1&0&0 \\ 0&\cos\theta&-\sin\theta \\ 0&\sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix},~R _y=\begin{pmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta \\ 0&1&0 \\ -\sin\theta &0&\cos\theta \end{pmatrix},~R_z=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta&0 \\\sin\theta&\cos\theta&0 \\ 0&0&1 \end{pmatrix}​

$SU(2)$ 群：经典表示2x2复矩阵， $\det U=1,~U^\dagger U=I$

其形式如

U=\begin{pmatrix}a+di & b+ci\\b-ci& a-di \end{pmatrix}​

考虑四元数的概念，令

1=\begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix},~i=\begin{pmatrix} 0&1\\-1&0\end{pmatrix},~j=\begin{pmatrix} 0&i\\i&0\end{pmatrix},~k=\begin{pmatrix} i&0\\0&-i\end{pmatrix}

则有 $U=a1+bi+c j+d k$ ，由于需要满足单位长度的要求，设 $u=bi+c j+d k$ 是任意单位长度的“纯虚数矢量”，把变换写成

U=\sin{\phi\over 2}1+\cos{\phi\over 2}u

这说明2x2单位复矩阵和单位四元数是一一对应的。任意三维空间中的矢量用 $\mathbf{v}=xi+yj+zk$ 表示（注意这里 $i,j,k$ 是四元数单位不是三维空间基矢），一个任意的旋转变换表示为

\mathbf{v}'=U^{-1}\mathbf{v}U

如此运算可以发现这一旋转让矢量旋转了 $\phi$ 角度，那么显然对于 $\theta$ 和 $\theta +\pi$ 两个参量所代表的四元数，他们对应的是同一个旋转（旋转 $2\theta$ ）。这（很不数学地）证明 $SU(2)$ 是 $SO(3)$ 群的双覆盖。

3.Lie代数

在某个抽象的群空间上定义某个参量的无限小变换

g(\varepsilon)=1+\varepsilon X

X被称为生成元，直观来看，这个名字是因为这个群的元素可以靠他来生成。记一个有限大小的变换为

$h(\theta)=\lim_{n\to\infty}(1+{\theta\over n}X)^{n}\equiv e^{\theta X}$

某个群 $G$ 的Lie代数被定义为（注意恒等变换的存在，0或者说0矩阵总是一个生成元）

$\{X|\mathrm{ if~~} e^{\theta X} \in G,~\theta\in \mathbb{R} \}$

显然一个群的Lie代数由这个群的所有生成元构成。拥有Lie代数结构的群被称为Lie群。Lie代数本身也同样构成一个新群，使用Lie括号进行群乘来满足群的封闭性（注意不使用 $G$ 本身的群乘P38）。对于矩阵群（元素是矩阵）来说，李括号是对易子

[X,Y]=XY-YX

一般来说 $XY,YX$ 都不是Lie代数里的元素，但他们的差一定是。（此处及上文省略了一万个数学证明）

$SO(3)$ 群的生成元和Lie代数

由群的定义： $\det O=1,~O^T O=1$

设 $O=e^{\phi J}$ ： $\mathrm{tr}(J)=0,~J^T+J=0$ 。为了物理上的考虑，我们要求J是厄米共轭的，对 $J$ 乘上一个虚数单位i即可（注意虽然群矩阵是实数，但生成元含有虚数），上面的要求改写为
$O=e^{-i \phi J},~tr(J)=0,~J^\dagger=J$
由上可以得到三个完备的线性无关生成元
$J_1=i\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix},~J_2=i\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix},~J_3=i\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$
可以简单将上式表达为 $(J_i)_{jk}=i\varepsilon_{ijk}$ .

由这些生成元产生的有限大小变换正是三维空间内的旋转，举个例子比如
$\begin{equation}\begin{split} R_1=e^{\phi J_1}&=\sum_{n=0}^\infty {\phi^n\over n!}J^n_1 \\&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n{\phi^{2n+1}\over (2n+1)!}J_1 + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n{\phi^{2n}\over (2n)!}I \\&=\sin\phi J_1+\cos\phi I \\&=\begin{pmatrix}\cos\phi&\sin\phi\\-\sin\phi &\cos\phi\end{pmatrix}\end{split}\end{equation}$
再加上左上角的 $e^0=1$ ，即得绕X轴的旋转算符。

由矩阵乘法易得生成元的Lie括号
$[J_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}J_k$

Lie代数的抽象定义

给定一向量空间 $\mathfrak{g}$ 和其上面的一个二元运算 $[~,~],~\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ ，且满足

1.双线性

2.反交换律

3.Jacobi恒等式： $\forall ~x,y,z\in \mathfrak{g},~[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0$

称这一空间 $\mathfrak{g}$ 为一Lie代数。

$SU(2)$ 群的生成元和Lie代数

由群的定义： $\det U=1,~U^\dagger U=1$

设 $U=e^{\phi J}$ ： $\mathrm{tr}(J)=0,~J^\dagger=J$ 。老样子，出于物理上的要求 $J$ 是厄米的。

由上条件得到群三个完备的线性无关生成元

$\sigma_1=\begin{pmatrix}0&1 \\ 1&0\end{pmatrix},~\sigma_2=\begin{pmatrix}0&i \\ -i&0\end{pmatrix},~\sigma_3=\begin{pmatrix}1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}$

此为著名的Pauli矩阵。令 $J_i={\sigma_i\over 2}$ ，得到
$[J_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}J_k$
这和 $SO(3)$ 群的李代数是一样的，J和Pauli矩阵的二分之一系数和我们之前双覆盖的结论相同。

注意2x2复矩阵只是 $SU(2)$ 群最具代表性的表示，远不是它的唯一表示。

Lie群的抽象定义

Lie群是一个群，同时是一个微分流形，且满足群乘诱导的流形到流形的映射可微。

例如： $U(1)$ 同构 $SO(2)$ ，且相当于流形一维单位圆 $S^1$ ;

$SU(2)$ 双覆盖 $SO(3)$ ，且相当于流形三维超球面 $S^3$

任一Lie代数仅对应一个单连通Lie群（流形），此群被称为覆盖群。 $U(1)$ 和 $SO(2)$ 同为Lie代数 $\{0,1\}$ 的覆盖群（注意此处Lie代数的集合中仅有两个元素）。 $SU(2)$ 就是Lie代数 $[J_i,J_j]=i\varepsilon_{ijk}J_k$ 的覆盖群( $S^3$ )，而 $SO(3)$ 群将 $S^3$ 的相对点等同，并不具有单连通这样良好的性质，不是覆盖群。